Question

已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數,記的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為,試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

（I）；（II）對于任意的，直線與軸交于定點．

試題分析：（I）找出題中的相等關系，列出，化簡即得曲線的方程；（II）將直線方程代入曲線方程，消去得，記，則，且.特別地，令，則.此時，直線與軸的交點為．若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．再證明對于任意的，直線與軸交于定點，可利用直線的兩點式方程結合分析法．
試題解析：（I）設是點到直線的距離,根據題意,點的軌跡就是集合
  
由此得       
將上式兩邊平方,并化簡得
即，所以曲線的方程為   
（II）由得，即.  
記，
則，且.
特別地，令，則.
此時，直線與軸的交點為． 
若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．
以下證明對于任意的，直線與軸交于定點．
事實上，經過點的直線方程為.
令，得只需證，   
即證，即證.
因為，
所以成立．
這說明，當變化時，直線與軸交于定點．  …