Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形周長等于8，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點（0，-2）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓方程標準方程，根據離心率可求得a和c的關系，根據橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形周長等于8，求得a，則c可求得，進而根據b²=a²-c²求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先看當直線l與x軸垂直時，顯然以A，B為直徑的圓不過橢圓C的右頂點，故直線l與x軸不垂直；設出直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據判別式求得k的范圍，設出A，B的坐標，進而根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而根據直線方程求得y₁y₂的表達式，以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點D（2，0），進而可知直線AD和BD的斜率之積為-1，進而用A，B的坐標分別表示出這兩直線的斜率，建立等式求得k，最后驗證求得結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由題意得：

c

a

=

1

2

，4a=8
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時，A，B分別為橢圓短軸的兩端點，
顯然以A，B為直徑的圓不過橢圓C的右頂點，故直線l與x軸不垂直
設直線l的方程為y=kx-2
則由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx-2

得（3+4k²）x²-16kx+4=0
由△＞0得k＞

1

2

或k＜-

1

2

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

∴y1y2=(kx1-2)(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=

12-12k2

3+4k2

因為以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點D（2，0），
∴K_ADK_BD=-1，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0
∴

12-12k2

3+4k2

+

4

3+4k2

-

32k

3+4k2

+4=0，即k²-8k+7=0，
解得k₁=1，k₂=7
當k=1時，直線l過橢圓右頂點（2，0），不合題意，
所以k=7，故直線l的方程是y=7x-2．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，