Question

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，若na_n+1=S_n+n（n+1）且a₁=2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，①當n為何值時，T_n＞T_n+1，②若對一切正整數n，總有T_n≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中：
（1）首先利用條件和通項與前n項和的關系即可轉化出數列a_n的通項之間的關系，進而即可獲得數列{a_n}的通項公式；
（2）首先利用第（1）問的結論即可將T_n化簡，再利用數學歸納法判斷T_n的單調性，由單調性即可獲得①的解答，進而由單調性即可獲得的最大值從而可以結合②中的恒成立問題進行轉化即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由題意可知：na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n
兩式相減可得：a_n+1-a_n=2
所以數列{a_n}為以2為首項以2為公差的等差數列．
∴a_n=2+（n-1）•2=2n
∴數列{a_n}的通項公式：a_n=2n，n∈N*
（2）由（1）知：Sn=

n(2+2n)

2

=n2+n
∴Tn=

Sn

2n

=

n2+n

2n

，
∴T1=

2

2

=1
T2=

6

4

=

3

2

T3=

9+3

8

=

3

2

T4=

16+4

16

=

5

4

T5=

25+5

32

=

15

16

…
可猜測當n≥3時，數列{a_n}為單調遞減數列，當n≤2時，數列{a_n}為單調遞增數列．
對“當n≥3時，數列{a_n}為單調遞減數列”證明如下：
當n=3時，T3=

9+3

8

=

3

2

 
當n=4時，T4=

16+4

16

=

5

4

，∴T₄＜T₃
假設當n=k時成立，即T_k＜T_k-1，∴

(k-1)2+k-1

2k-1

＞

k2+k

2k

則當n=k+1時，Tk+1= 

(k+1)2+k+1

2k+1

=

1

2

•

(k2+k)+2k+2

2k

＜

1

2

• (

(k-1)2+k-1

2k-1

+

2k+2

2k

)
=

k2+1

2k

＜

k2+k

2k

故當n=k+1時猜測成立．綜上可知：當n≥3時，數列{a_n}為單調遞減數列，當n≤2時，數列{a_n}為單調遞增數列．
又因為：對一切正整數n，總有T_n≤m，且T_n的最大值為

3

2

，所以m≥

3

2

．
∴當n≥3時，T_n＞T_n+1，
m的取值范圍為：m≥

3

2

．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了數列通項與數列前n項和的知識、數列與函數的思想、單調性的研究以及恒成立問題的解答規律．值得同學們體會和反思．