Question

已知函數f（x）=x³-3x及y=f（x）上一點P（1，-2），過點P作直線l．
（1）求使直線l和y=f（x）相切且以P為切點的直線方程；
（2）求使直線l和y=f（x）相切且切點異于P的直線方程．

Answer 1

（1）由f（x）=x³-3x得，f′（x）=3x²-3，
過點P且以P（1，-2）為切點的直線的斜率f′（1）=0，
∴所求直線方程為y=-2．
（2）設過P（1，-2）的直線l與y=f（x）切于另一點（x₀，y₀），
則f′（x₀）=3x₀²-3．
又直線過（x₀，y₀），P（1，-2），
故其斜率可表示為

y0-(-2)

x0-1

=

x03-3x0+2

x0-1

，
又

x03-3x0+2

x0-1

=3x₀²-3，
即x₀³-3x₀+2=3（x₀²-1）•（x₀-1），
解得x₀=1（舍）或x₀=-

1

2

，
故所求直線的斜率為k=3×（

1

4

-1）=-

9

4

，
∴y-（-2）=-

9

4

（x-1），
即9x+4y-1=0．