Question

已知點P（x，y）是橢圓

x2

2

+y²=1上的點，M（m，0）（m＞0）是定點，若|MP|的最小值等于

5

3

，則m=

2

3

或

2

+

5

3

．

Answer 1

分析：根據橢圓方程，結合兩點間的距離公式，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，因為拋物線y=F（x）關于直線直線x=2m對稱，且P點橫坐標x∈[-

2

，

2

]，所以分2m＞

2

和2m≤

2

兩種情況，分別對F（x）的最小值為

5

9

進行討論，解之即可得到實數m的值，從而得到本題答案．

解答：解：∵點P（x，y）是橢圓

x2

2

+y²=1上的點，
∴y²=1-

x2

2

，由此可得|MP|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+（1-

x2

2

），
化簡可得，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，
函數y=F（x）的圖象是一條拋物線，關于直線x=2m對稱
∵P點橫坐標x∈[-

2

，

2

]
∴對F（x）的最小值分兩種情況加以討論
①當2m＞

2

時，即m＞

2

2

時，F（x）在[-

2

，

2

]上為減函數，
∴[F（x）]_最小值=F（

2

）=m2-2

2

m+2=（

5

3

）²，解之得m=

2

+

5

3

（負值舍去）
②當2m≤

2

時，即0＜m≤

2

2

時，F（x）在[-

2

，2m]上為減函數，在[2m，

2

]上為增函數，
∴[F（x）]_最小值=F（2m）=1-m²=（

5

3

）²，解之得m=

2

3

（負值舍去）．
綜上所述，m的值為

2

3

或

2

+

5

3

故答案為：

2

3

或

2

+

5

3

點評：本題給出橢圓上一個動點，在已知它到定點（m，0）的最小距離情況下求實數m之值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質和二次函數在給定區間上求最值等知識，屬于中檔題．