Question

【題目】已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x+b（e為自然對數的底數，a，b∈R）
（1）設f′（x）為f（x）的導函數，求f′（x）的遞增區間；
（2）當a＞0時，證明：f′（x）的最小值小于零；
（3）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合條件的最小整數b．

Answer 1

【答案】
（1）解：令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，則g′（x）=ex﹣2a

當a≤0 時，g′（x）＞0恒成立，此時f′（x）的單調遞增區間是（﹣∞，+∞）；

當a＞0，令g′（x0）=0，解得x0=ln2a，

則當x＜ln2a時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；

當x＞ln2a時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；

綜上所述，當a≤0時，f′（x）的單調遞增區間是（﹣∞，+∞）；

當a＞0時，f′（x）的單調遞增區間是（ln2a，+∞）

（2）證明：由（1）可知，當a＞0時，x0=ln2a時，f′（x）有最小值，

則f′（x）min=g（x）min=g（ln2a）=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2

令G（x）=x﹣xlnx﹣2（x＞0），G′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx，

當x∈（0，1）時，G′（x）＞0，G（x）單調遞增；

當x∈（1，+∞）時，G′（x）＜0，G（x）單調遞減，

∴G（x）max=G（1）=﹣1＜0，∴f′（x）min＜0成立

（3）解：f（x）＞0恒成立，等價于f（x）min＞0恒成立．

令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，則g′（x）=ex﹣2a，

∵a＜0，∴g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a＞0，

∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0

則x＜x0時，g（x）=f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

x＞x0時，g（x）=f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

∴f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立，且ex0﹣2ax0﹣2=0

由上可知，b＞﹣ex0+ax02+2x0=﹣ex0+x0（ ﹣1）+2x0=（ ﹣1）ex0+x0

又可得，a= ＜0，∴x0∈（0，ln2）

令m（x）=（ x﹣1）ex+x，x∈（0，ln2），

令n（x）=m′（x）= （x﹣1）ex+1，n′（x）= xex＞0，

∴n（x）＞n（0）= ＞0，∴m（x）單調遞增，m（x）＞m（0）=（﹣1）e0=﹣1，

m（x）＜m（ln2）=（ ﹣1）eln2+ln2=2ln2﹣2

∴b＞﹣1，∴符合條件的最小整數b=0

【解析】（1）令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，求得g（x）導數，討論當a≤0 時，當a＞0時，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；（2）f′（x）min=g（x）min=g（ln2a）=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2，令G（x）=x﹣xlnx﹣2（x＞0），求得導數和單調區間，可得G（x）的最大值，即可得證；（3）f（x）＞0恒成立，等價于f（x）min＞0恒成立．令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，求出g（x）的零點所在區間，得到f（x）的單調區間和最小值，即f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立，且ex0﹣2ax0﹣2=0，再由參數分離和構造函數法，即可得到b的范圍，進而得到最小整數b．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．