Question

已知函數(shù)（注：ln2≈0.693）
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍：
（3）求證：對(duì)大于1的任意正整數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)則f'（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，解之即可；
（2）把a(bǔ)=1代入函數(shù)f（x），將直線y=b和函數(shù)y=f（x）聯(lián)立方程，判斷其在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，研究其導(dǎo)數(shù)得出不等式；
（3）先研究函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，令x=，易得ln＞，然后利用此不等式進(jìn)行放縮證明；
解答：解：（1）∵函數(shù)，
∴f′（x）=+，∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）＞0，在[1，+∞）上恒成立，
∴+≥0，化簡(jiǎn)得，-≥0，可得a≤，求出的最大值，≤1，
∴a≤1；
（2）a=1，可得f（x）=+lnx，y=b，
若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
等價(jià)于方程b=+lnx，在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴令g（x）=+lnx-b，g（x）在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
g′（x）=，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
若0＜x＜1，g′（x）＞0，g（x）為減函數(shù)；
∴，解得0＜b≤ln2-，
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=f（x）=+lnx，在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)n＞1時(shí)，令x=，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
f（）=+ln=-+ln＞0，即ln＞，
∴l(xiāng)nn＞ln+ln+…+ln＞+++…+；
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性證明不等式，是一道綜合題．