Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，．

（1）證明：平面；

（2）若，為棱的中點，，，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）由矩形性質及面面垂直性質，可證明平面，從而可知，結合題意，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）取中點，連接可證明面，以為坐標原點，的方向為軸正方向，設，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由空間向量法求得二面角的余弦值，進而結合同角三角函數關系式求得正弦值．

（1）證明：∵四邊形是矩形

∴

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面，

∴

又∵，平面

∴平面

（2）取中點，連接，

∵，

∴，

又面面，且面面，

∴面，以為坐標原點，的方向為軸正方向，設，

建立空間直角坐標系

由（1）知平面，故

∴，設，

可得，，，

所以，，由題得，解得，

∴，，

設是平面的法向量，則，即，得，

設是平面的法向量，則，即，得，

則，

∴．

∴二面角的正弦值為．