Question

【題目】已知函數，，其中．

(1)若是函數的極值點，求實數的值；

(2)若對任意的（為自然對數的底數）都有≥成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)(2)

【解析】

試題本題主要考查利用導數求函數的極值、單調區間、最值等基礎知識及分類討論思想，也考查了學生分析問題解決問題的能力及計算能力.第一問先對函數進行求導，再把極值點代入導函數求得實數a的值；第二問對任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價于對任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用導數分別判斷函數f (x)、g(x)的單調性并求其在定義域范圍內的最值，判斷單調性時可對實數a進行分類討論，則可求得實數a的取值范圍．

試題解析：(1)∵h(x)＝2x＋＋ln x，其定義域為(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，

∵x＝1是函數h(x)的極值點，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.

∵a＞0，∴a＝.

經檢驗當a＝時，x＝1是函數h(x)的極值點，∴a＝.

(2)對任意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價于對任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.

當x∈[1，e]時，g′(x)＝1＋＞0.

∴函數g(x)＝x＋ln x在[1，e]上是增函數，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.

∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0.

①當0＜a＜1且x∈[1，e]時，f′(x)＝＞0，

∴函數f(x)＝x＋在[1，e]上是增函數，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.

由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合題意．

②當1≤a≤e時，

若1≤x≤a，則f′(x)＝＜0，

若a＜x≤e，則f′(x)＝＞0.

∴函數f(x)＝x＋在[1，a)上是減函數，在(a，e]上是增函數．

∴f(x)min＝f(a)＝2a.

由2a≥e＋1，得a≥. 又1≤a≤e，∴≤a≤e.

③當a＞e且x∈[1，e]時f′(x)＝＜0，

函數f(x)＝x＋在[1，e]上是減函數．∴f(x)min＝f(e)＝e＋.

由e＋≥e＋1，得a≥，又a＞e，∴a＞e.

綜上所述，a的取值范圍為[，＋∞)．