Question

【題目】已知平面直角坐標系xOy，在x軸的正半軸上，依次取點，，，，并在第一象限內的拋物線上依次取點，，，，，使得都為等邊三角形，其中為坐標原點，設第n個三角形的邊長為．

⑴求，，并猜想不要求證明)；

⑵令，記為數列中落在區間內的項的個數，設數列的前m項和為，試問是否存在實數，使得對任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

⑶已知數列滿足：，數列滿足：，求證：．

Answer 1

【答案】⑴，,；⑵；⑶詳見解析

【解析】

，，進而猜想出．

.由，可得，，，，利用等比數列的求和公式即可得出.根據對任意恒成立即可得出范圍．

，記，

可得，，

記，可得，根據當時，即可得出．

解：，

猜想

，由，

，，，

對任意恒成立

⑶證明：，記，

則

，記，

則

，

當時，可知：，