Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）過點作的平行線交于點，連結，則與平面所成的角等于與平面所成的角，由平面，得到為直線和平面所成的角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）證明：因為平面，直線平面，所以，又因為，所以，而，所以平面.

（2）過點作的平行線交于點，連接，則與平面所成的角等于與平面所成的角，因為平面，故為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角，由于， .故.由已知得， ，又，故，在中，可得，在中，可得.

所以，直線與平面所成的角的正弦值為

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.