Question

【題目】如圖，已知點是軸下方（不含軸）一點，拋物線上存在不同的兩點、滿足，，其中為常數，且、兩點均在上，弦的中點為．

（1）若點坐標為，時，求弦所在的直線方程；

（2）在（1）的條件下，如果過點的直線與拋物線只有一個交點，過點的直線與拋物線也只有一個交點，求證：若和的斜率都存在，則與的交點在直線上；

（3）若直線交拋物線于點，求證：線段與的比為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析，定值為．

【解析】

（1）設，，得到和，即得的坐標，即得弦所在的直線方程；

（2）先求出，，再求出交點，即得證；

（3）先求出直線的方程為，得到，，即得線段與的比.

（1）設，，由，，

可得，，

由點在上可得：，化簡得：，同理可得：

，

∵、兩點不同，不妨設，，

∴弦所在的直線方程為．

（2）由（1）可知，，，設，

與聯立，并令，可得，同理的斜率，

∴，，

解方程組得交點，而直線的方程為，得證．

（3）設，，，由，得，

代入，化簡得：，

同理可得：，

顯然，∴、是方程的兩個不同的根，

∴，，

∴，即直線的方程為，

∵，，

∴，，

所以線段與的比為

∴線段與的比為定值．