Question

【題目】設是各項均為正數的等差數列，，是和的等比中項，的前項和為，.

（1）求和的通項公式;

（2）設數列的通項公式.

（i）求數列的前項和；

（ii）求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（i）；（ii）

【解析】

（1）因為，是和的等比中項，根據等比中項可求得，再根據等差數列的通項公式求出，利用與的關系，證出是以2為首項，2為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項公式；

（2）根據（1）中和的通項公式，列出數列的通項公式，利用分組求和法，分成奇數組和偶數組，即可求出數列的前項和；

將分為奇數和偶數兩種情況，當為奇數時，設，運用裂項相消法化簡求出結果；當為偶數時，設，運用錯位相減法求出結果；分別求解出后，相加求得的值即可．

（1）解：設等差數列的公差為，

因為，是和的等比中項，

所以，即，

解得，因為是各項均為正數的等差數列，

所以，

故，

因為，所以，

兩式相減得：，

當時，，，

是以2為首項，2為公比的等比數列，

.

（2）（i）解：，

所以

.

（ii）解：當為奇數時，

設

，

當為偶數時，

設，

，

所以，

故，

所以.