Question

【題目】如圖所示，在四棱錐S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，點E在棱CS上，且CE＝λCS．

（1）若，證明：BE⊥CD；

（2）若，求點E到平面SBD的距離．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）點E到平面SBD的距離為.

【解析】

（1）在線段上取一點使，連接， 可得垂直．再證明垂直平面，所以垂直，又垂直．由此得垂直平面，從而可得結果；（2）先求得，再求得，設點到平面的距離為，則由得，從而可得結果．

（1）因為，所以，在線段CD上取一點F使，連接EF，BF，則EF∥SD且DF＝1．

因為AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，

所以四邊形ABFD為矩形，所以CD⊥BF．

又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，

所以SA⊥CD，AD⊥CD．

因為AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，

所以CD⊥SD，從而CD⊥EF．

因為BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．

又BE平面BEF，所以CD⊥BE．

（2）解：

由題設得，，

又因為，，，

所以，

設點C到平面SBD的距離為h，則由VS—BCD＝VC—SBD得，

因為，所以點E到平面SBD的距離為．