Question

【題目】設等比數列的前項和為，，且，，成等差數列，數列滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）設,數列的前項和為,若對任意，不等式 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，，成等差數列,結合求出，從而可得公比的值，進而可求出等比數列的通項公式；（2由（1）可得 ，結合等比數列的求和公式，利用錯位相減法即可求出，又，原不等式化為恒成立，利用數列的增減性可得，從而可得結果.

（1）設數列的公比為，

∵，，成等差數列，∴，∴，

∵，∴，∴，

∴．

（2）設數列的前項和為，則，

又，

∴，

，

兩式相減得

，

∴，

又，

對任意，不等式恒成立，

等價于恒成立，即恒成立，

即恒成立，

令，，

∴關于單調遞減，∴關于單調遞增，∴，∴，

所以的取值范圍為．