Question

【題目】已知為橢圓E： 的左、右頂點， ，E的兩個焦點與E的短軸兩個端點所構成的四邊形是正方形．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設動點（），記直線與E的交點（不同于）到x軸的距離分別為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1））由得，由的兩個焦點與的短軸兩個端點所構成的四邊形是正方形．可得，又，解得，從而可得橢圓的方程；（2）設直線的方程為，直線的方程為，將兩直線方程分別與橢圓方程聯立，求得， ，從而 ，利用基本不等式可得結果.

試題解析：（1）由得，則．

因為E的兩個焦點與E的短軸兩個端點所構成的四邊形是正方形．

所以，又，解得，

故橢圓E的方程為．

（2）不妨設．直線的方程為，直線的方程為，

設，

由得，可得．

又由得，可得．

則 ．

因為，當且僅當取等號，則，

即．當且僅當取等號．