Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，且離心率為 ．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若經過點（0， ）且斜率為k的直線l與橢圓C有兩個不同的交點P和Q． （Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k，使得向量 與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得橢圓方程為 ，

且2c=2， ，∴c=1，a= ，b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓方程為： ；

（2）解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為 ，

代入橢圓方程得 ．

整理得 ，①

直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于 ，

解得 或 ．

即k的取值范圍為 ；

（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ，

由方程①，得 ．②

又 ．③

而 ．

∴ 與 共線等價于 ，

將②③代入上式，解得 ．

由（1）知 或 ，

故沒有符合題意的常數k

【解析】（1）由題意設出橢圓標準方程，且求得c，a的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）（Ⅰ）寫出直線方程，與橢圓方程聯立，利用判別式大于0求得k的范圍；（Ⅱ）利用根與系數的關系求出P，Q兩點的橫坐標與縱坐標的和，結合 與 共線求得k值，與（1）中求出的k的范圍矛盾．