Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=2﹣an ， n∈N* ， 設函數f（x）=log x，數列{bn}滿足bn=f（an），記{bn}的前n項和為Tn ． （Ⅰ）求an及Tn；
（Ⅱ）記cn=anbn ， 求cn的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由Sn=2﹣an ， 得a1=1； 當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2﹣an=（2﹣an﹣1）=an﹣1﹣an ，
∴ ，
則數列{an}是公比q= ，首項a1=1的等比數列，
∴ ，
∴bn=f（an）=n﹣1，
則 ；
（Ⅱ）cn=anbn=（n=1） ，
由cn+1﹣cn= ．
當n=1時，c2＞c1；
當n=2時，c3=c2；
當n≥3時，cn+1＞cn ．
∴
【解析】（Ⅰ）由已知數列遞推式求得首項，進一步得到數列{an}是公比q= ，首項a1=1的等比數列，求其通項公式，代入bn=f（an），得{bn}為等差數列，則{bn}的前n項和為Tn可求；（Ⅱ）把an ， bn代入cn=anbn ， 由作差法可得單調性，利用單調性求得cn的最大值．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．