Question

已知O為坐標原點，F為橢圓C：x2+

y2

2

=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-

2

的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足

OA

+

OB

+

OP

=

0

．
（Ⅰ）證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．

Answer 1

分析：（1）要證明點P在C上，即證明P點的坐標滿足橢圓C的方程x2+

y2

2

=1，根據已知中過F且斜率為-

2

的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足

OA

+

OB

+

OP

=

0

，我們求出點P的坐標，代入驗證即可．
（2）若A、P、B、Q四點在同一圓上，則我們可以先求出任意三點確定的圓的方程，然后將第四點坐標代入驗證即可．

解答：證明：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
橢圓C：x2+

y2

2

=1  ①，則直線AB的方程為：y=-

2

x+1  ②
聯立方程可得4x²-2

2

x-1=0，
則x₁+x₂=

2

2

，x₁×x₂=-

1

4

則y₁+y₂=-

2

（x₁+x₂）+2=1
設P（p₁，p₂），
則有：

0A

=（x₁，y₁），

0B

=（x₂，y₂），

0P

=（p₁，p₂）；
∴

0A

+

0B

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

2

2

，1）；

0P

=（p₁，p₂）=-（

0A

+

0B

）=（-

2

2

，-1）
∴p的坐標為（-

2

2

，-1）代入①方程成立，所以點P在C上．

（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．
設線段AB的中點坐標為（

x1+x2

2

，

y1+ y2

2

），即（

2

4

，

1

2

），
則過線段AB的中點且垂直于AB的直線方程為：y-

1

2

=

2

2

（x-

2

4

），即y=

2

2

x+

1

4

；③
∵P關于點O的對稱點為Q，故0（0.0）為線段PQ的中點，
則過線段PQ的中點且垂直于PQ的直線方程為：y=-

2

2

x④；
③④聯立方程組，解之得：x=-

2

8

，y=

1

8

③④的交點就是圓心O₁（-

2

8

，

1

8

），
r²=|O₁P|²=（-

2

2

-（-

2

8

））²+（-1-

1

8

）²=

3 11

8

故過P Q兩點圓的方程為：（x+

2

8

）²+（y-

1

8

）²=

3 11

8

…⑤，
把y=-

2

x+1 …②代入⑤，
有x₁+x₂=

2

2

，y₁+y₂=1
∴A，B也是在圓⑤上的．
∴A、P、B、Q四點在同一圓上．

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，向量在幾何中的應用，其中判斷點與曲線關系時，所使用的坐標代入驗證法是解答本題的關鍵．