Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過橢圓的焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點均在橢圓上，點在拋物線上，若的重心為坐標原點，且的面積為，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或．

【解析】

（1）運用離心率公式和垂直于軸的弦長公式，以及的關系解方程可得，進而得到所求橢圓的方程；

（2）設，聯立橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式、三角形的重心坐標公式，可得的坐標，代入拋物線方程，結合三角形的面積公式，計算可得的坐標．

（1）根據題意得，又因為，解得，則，

所以橢圓的方程為：；

（2）設，聯立橢圓方程，可得，

①

設，，

可得，

，

由在拋物線上，可得，

則 ②，

由

，

則

，

可得③，將②代入③整理可得，

解得或，相應的或1．

所以，或．