Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，底面，，，，是的中點.

（1）求證：；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出平面，進而可得出；

（2）利用二面角的定義得出，可計算出，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）在梯形中，，，則，，

且，則，在中，，，

由余弦定理得，

，則，

平面，平面，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，，，所以，二面角的平面角為，

平面，平面，，

為的中點，，，

則，即，解得，

以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則點、、、，

則，，，

設平面的法向量為，

由，令，則，，可得，

設直線與平面所成角為，則.