Question

【題目】已知橢圓的左焦點與拋物線 的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值．

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) （2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線焦點可得c，再根據(jù)離心率可得a，即得b（2）先設(shè)直線方程x=ty+m，根據(jù)向量數(shù)量積表示，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據(jù)點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求最值

試題解析：解：（1）設(shè)F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，∴c=1，

又橢圓E的離心率為，得a=，

于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓Γ的標準方程為：．

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，

由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0

，，

，

=

=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．

要使為定值，則，解得m=1或m=（舍）

當m=1時，|AB|=|y1﹣y2|=，

點O到直線AB的距離d=，

△OAB面積s==．

∴當t=0，△OAB面積的最大值為.