Question

已知a、b∈R，向量

e1

=（x，1），

e2

=（-1，b-x），函數f（x）=a-

1

e1 e2

是偶函數．
（1）求b的值；
（2）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式求出f（x），利用偶函數的定義列出方程f（x）=f（-x）恒成立，求出b的值．
（2）先判斷出f（x）的單調性，對x分段討論求出函數f（x）的最值，列出方程組，求出a 的值．

解答：解（1）由已知可得，f(x)=a-

1

|2x-b|

，且函數的定義域為D=(-∞，

b

2

)∪(

b

2

，+∞)．
又y=f（x）是偶函數，故定義域D關于原點對稱．
于是，b=0．
又對任意x∈D有f（x）=f（-x）
因此所求實數b=0．
（2）由（1）可知，f(x)=a-

1

|2x|

（D=（-∞，0）∪（0，+∞）．
考察函數f(x)=a-

1

|2x|

的圖象，可知：f（x）在區間（0，+∞）上增函數．
f（x）在區間（-∞，0）上減函數
因y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，故必有m，n同號．
①當0＜m＜n時，f（x）在 區間[m，n]上是增函數有

a- 1 2m =m a- 1 2n =n

，即方程x=a-

1

2x

，也就是2x²-2ax+1=0有兩個不相等的正實數根，因此

2a＞0 △=4a2-8＞0

，解得a＞

2

．
②當m＜n＜0時，f（x）區間[m，n]上是減函數有

a+ 1 2m =n a+ 1 2n =m

，化簡得（m-n）a=0，
解得a=0．
綜上所述，所求實數a的取值范圍a=0或a＞

2

．

點評：解決函數的奇偶性問題常利用奇函數、偶函數的定義得到恒成立的等式，注意具有奇偶性的函數的定義域關于原點對稱．