Question

【題目】已知a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，sinx)，f(x)＝2a·b.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)若g(x)＝f(x)，x∈，畫出函數y＝g(x)的圖象，討論y＝g(x)－m(m∈R)的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）最小正周期T＝π，最大值為；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由向量的數量積的坐標運算得f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＋1＝，從而可得周期和最值；

（2）由五點作圖法列表，描點即可作圖，函數y＝g(x)－m(m∈R)的零點個數，即函數y＝g(x)的圖象與直線y＝m的交點個數，數形結合即可得點.

試題解析：

(1)∵f(x)＝2a·b＝2sin2x＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1，

∴函數f(x)的最小正周期T＝π，最大值為f(x)max＝＋1.

(2)g(x)＝f(x)，x∈，利用“五點法”列表為：

x	－	－	－
2x－	－	－π	－	0
sin		0	－1	0	1
y＝sin＋1	2	1	1－	1	1＋	2

描點作圖如下．

函數y＝g(x)－m(m∈R)的零點個數，即函數y＝g(x)的圖象與直線y＝m的交點個數．

由圖可知，當m<1－或m>1＋時，無零點；

當m＝1－或m＝1＋時，有1個零點；

當1－<m<2或2<m<1＋時，有2個零點；

當m＝2時，有3個零點．