Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）上一點與它的左、右兩個焦點F1 ， F2的距離之和為2 ，且它的離心率與雙曲線x2﹣y2=2的離心率互為倒數．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，點A為橢圓上一動點（非長軸端點），AF1的延長線與橢圓交于點B，AO的延長線與橢圓交于點C．
①當直線AB的斜率存在時，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；
②求△ABC面積的最大值，并求此時直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）由橢圓的定義知2a=2 ，

雙曲線x2﹣y2=2的離心率為 ，

故橢圓 的離心率e= ，

故a= ，c=1，b=1；

故橢圓的方程為 +y2=1；

（2）①證明：設A（xA，yA），B（xB，yB），則C（﹣xA，﹣yA），

設直線BA的方程為y=k（x+1），

聯立方程 化簡得，

（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

∴xA+xB=﹣ ，

yA+yB=k（xA+xB）+2k=k（﹣ +2）=k ，

∴kABkBC=k = =﹣ ；

②當直線AB的斜率不存在時，

可知A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），C（1，﹣ ），

故S△ABC= ，

當直線AB的斜率存在時，由①知，

xA+xB=﹣ ，xAxB= ，

故|xA﹣xB|=

=2 ，

故|AB|= |xA﹣xB|

=2 ，

點C到直線AB的距離d= = ，

故S△ABC= （2 ）

=2

=2 ＜ ，

故△ABC面積的最大值為 ，此時AB的方程為x+1=0．

【解析】（1）易知2a=2 ，e= ，從而解得；（2）①設A（xA ， yA），B（xB ， yB），則C（﹣xA ， ﹣yA），從而設直線BA的方程為y=k（x+1），聯立方程化簡（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，從而可得xA+xB=﹣ ，yA+yB=k ，從而證明．②分情況討論以分別確定△ABC的面積的取值范圍，從而解得．