Question

【題目】如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）設(shè)為P為AC的中點(diǎn)，Q為AB上一點(diǎn)，使PQ⊥OA，并計(jì)算 的值；
（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：法一：
（Ⅰ）在平面OAB內(nèi)作ON⊥OA交AB于N，連接NC．

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC
∵NC平面ONC，
∴OA⊥NC．
取Q為AN的中點(diǎn)，則PQ∥NC．
∴PQ⊥OA
在等腰△AOB中，∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°
在Rt△AON中，∠OAN=30°，
∴
在△ONB中，∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO，
∴NB=ON=AQ．
∴
（Ⅱ）連接PN，PO，
由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．
又ON平面OAB，
∴OC⊥ON
又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．
∴OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影．
在等腰Rt△COA中，P為AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥OP
根據(jù)三垂線定理，知：
∴AC⊥NP
∴∠OPN為二面角O﹣AC﹣B的平面角
在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴
在Rt△AON中， ，
∴在Rt△PON中， ．
∴
解法二：
（I）取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OC所在的直線為x軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz（如圖所示）

則
∵P為AC中點(diǎn)，∴
設(shè) ，∵ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 即 ， ．
所以存在點(diǎn) 使得PQ⊥OA且 ．
（Ⅱ）記平面ABC的法向量為 =（n1 ， n2 ， n3），則由 ， ，
得 ，故可取
又平面OAC的法向量為 =（0，1，0）．
∴cos＜ ， ＞= ．
兩面角O﹣AC﹣B的平面角是銳角，記為θ，則
【解析】解法一：（1）要計(jì)算 的值，我們可在平面OAB內(nèi)作ON⊥OA交AB于N，連接NC．則根據(jù)已知條件結(jié)合平面幾何中三角形的性質(zhì)我們易得NB=ON=AQ，則易求出 的值．（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我們可連接PN，PO，根據(jù)三垂線定理，易得∠OPN為二面角O﹣AC﹣B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．
解法二：取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OC所在的直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，我們易根據(jù)已知給出四面體中各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法進(jìn)行求解，（1）由A、Q、B三點(diǎn)共線，我們可設(shè) ，然后根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即 的值；（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我們可以分別求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根據(jù)求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值等于兩個(gè)法向量夾角余弦的絕對(duì)值進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩個(gè)平面平行沒有交點(diǎn)；兩個(gè)平面相交有一條公共直線．