Question

 設(shè)為非負實數(shù)，函數(shù)．

       （Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

       （Ⅱ）討論函數(shù)的零點個數(shù)，并求出零點．（Ⅲ）當時，，試求的最大值，并求取得最大值時的表達式。

Answer 1

解析：（Ⅰ）當時，， -------------1分

       ① 當時，，

       ∴在上單調(diào)遞增； --------------2分

       ② 當時，，

       ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； --------------3分

       綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是。------4分

（Ⅱ）（1）當時，，函數(shù)的零點為； -----5分

       （2）當時，， --------------6分

       故當時，，二次函數(shù)對稱軸，

       ∴在上單調(diào)遞增，； -----------7分

       當時，，二次函數(shù)對稱軸，

       ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； ------------------------------8分

       ∴的極大值為，

 當，即時，函數(shù)與軸只有唯一交點，即唯一零點，

由解之得

函數(shù)的零點為或（舍去）；

----------------------10分

 當，即時，函數(shù)與軸有兩個交點，即兩個零點，分別為

和； -----------------------11分

        當，即時，函數(shù)與軸有三個交點，即有三個零點，

       由解得，，

       ∴函數(shù)的零點為和。-----------12分

       綜上可得，當時，函數(shù)的零點為；

       當時，函數(shù)有一個零點，且零點為；

       當時，有兩個零點和；
當時，函數(shù)有三個零點和