Question

（2011•江蘇模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=lg

m-1 i=1 ix+mxa

m2

，其中a∈R，m是給定的正整數(shù)，且m≥2，如果不等式f（x）＜（x-2）lgm在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a＜

3-m

2

．

Answer 1

分析：依據(jù)題意利用函數(shù)解析式，結(jié)合題設(shè)不等式求得1-a＞（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x，記為g（x）．根據(jù)m的范圍，判斷出g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，進(jìn)而求得函數(shù)g（x）的最大值，利用g（x）_max＜1-a求得a范圍即可．

解答：解：f（x）=lg

1+2x+3x+…+(m-1)x+mx•a

m2

＜（x-2）lgm=lgm^x-2，
∴

1+2x+3x+…+(m-1)x+mx•a

m2

＜m^x-2．
∴1-a＞（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x）．
∵

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=f（1）=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m-1

2

．
由題意知，1-a＞

m-1

2

，
∴a＜

3-m

2

．
故答案為：a＜

3-m

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出對(duì)數(shù)型函數(shù)，求一個(gè)不等式在區(qū)間上恒成立的參數(shù)a的取值范圍，著重考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的掌握，屬于中檔題．