Question

數列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1=a_n²-2a_n+2（n∈N*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{a_n}中的任兩項互質．
（3）記bn=

1

an

+

1

an-2

，S_n為數列{b_n}的前n項和，求S₂₀₀₉的整數部分．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n²-2a_n+2可得，a_n-1=（a_n-1-1）²，利用迭代的方法可求通項公式
（2）由a_n-2=a_n-1（a_n-1-2），利用迭代法可得，a_n=a_n-1a_n-2…a₂a₁+2，結合（1）中的通項公式可知a_n為奇數，可證明
（3）由a_n+1-2=a_n（a_n-2），可得

2

an+1-2

=

1

an-2

-

1

an

，結合已知，可得bn=

2

an-2

-

2

an+1-2

，利用疊加法可求S₂₀₀₉，從而可求

解答：解：（1）由題意可得，an-1=(an-1-1)2=(an-2-1)22=…=(a2-1)2n-2=(a1-1)2n-1=22n-1
當n=1，a1-1=221-1也成立，所以an=22n-1+1（5分）
證明：（2）因為a_n-2=a_n-1（a_n-1-2）=a_n-1a_n-2（a_n-2-2）=…=a_n-1a_n-2…a₂a₁
所以a_n=a_n-1a_n-2…a₂a₁+2，（9分）；
因為a_n為奇數，所以對任意的n＞1，a_n與前面項a₁，a₂，…，a_n-1均互質．（12分）．
解：（3）因為a_n+1-2=a_n（a_n-2）
所以，

1

an+1-2

=

1

an(an-2)

=

1

2

(

1

an-2

-

1

an

)
所以

2

an+1-2

=

1

an-2

-

1

an

，又因為bn=

1

an

+

1

an-2

，
所以bn=

2

an-2

-

2

an+1-2

16分）；
所以S₂₀₀₉=b₁+b₂+…+b₂₀₀₉
=

2

a1-2

-

2

a2-2

+

2

a2-2

-

2

a3-2

+…+

2

a2009-2

-

2

a2010-2

∴S2009=

2

a1-2

-

2

a2010-2

=2-

2

222010-1

∵0＜

2

222010-1

＜1
∴1＜2-

2

222010

＜2
所以S₂₀₀₉的整數部分為1（19分）．

點評：本題主要考查了數列中迭代法求解數列的通項公式，疊加法求解數列的和，解題中要求考生具備一定的邏輯推理與運算的能力．