Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對任意正整數(shù)n，S_n+1=4a_n+2．
（I）令b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），證明{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）令f（x）=xln（1+x）-a（x+1），為數(shù)列{

1

log2cn+2•log2cn+1

}的前n項(xiàng)和，求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

分析：（I）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系將已知條件中的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)間的遞推關(guān)系，求出

bn+1

bn

的值，利用等比數(shù)列的定義得證，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（II）先求出{c_n}的通項(xiàng)，代入

1

log2cn+2•log2cn+1

中，利用裂項(xiàng)相消法求出和T_n，利用基本函數(shù)的極限值求出極限．

解答：解（I）a_n+1=S_n+1-S_n=4（a_n-a_n-1）①
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1
由①得b_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∴

bn+1

bn

=

2(an+1-2an)

an+1-2an

=2
∴b_n}是公比為2的等比數(shù)列
∵b₁=a₂-2a₁=3
∴b_n=3×2^n-1
（II）∵Cn=

bn

3

=2n-1
∴

1

log2cn+2•log2cn+1

=

1

n(n+1)

∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1

點(diǎn)評：解決數(shù)列中和與項(xiàng)的遞推關(guān)系的問題，也不是仿寫等式關(guān)系，相減利用和與項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅有項(xiàng)的關(guān)系；求數(shù)列的前n項(xiàng)和關(guān)鍵是判斷出數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的公式．