Question

【題目】某品牌布娃娃做促銷活動：已知有50個布娃娃，其中一些布娃娃里面有獎品，參與者可以先在50個布娃娃中購買5個，看完5個布娃娃里面的結果再決定是否將剩下的布娃娃全部購買，設每個布娃娃有獎品的概率為，且各個布娃娃是否有獎品相互獨立.

（1）記5個布娃娃中有1個有獎品的概率為，當時，的最大值，求；

（2）假如這5個布娃娃中恰有1個有獎品，以上問中的作為p的值.已知每次購買布娃娃需要2元，若有中獎，則中獎者每次可得獎金15元.以最終獎金的期望作為決策依據，是否該買下剩下所有的45個布娃娃；

（3）若已知50件布娃娃中有10個布娃娃有獎品，從這堆布娃娃中任意購買5個，若抽到k個有獎品可能性最大，求k的值.（k為正整數）

Answer 1

【答案】（1）；（2）買下剩下所有的45個布娃娃；（3）

【解析】

(1) 求出的表達式,再進行求導,利用導數性質能求出的最大值點.

(2) 由(1)可知,設剩下45個布娃娃中有Y個獎品,獲利為X元,則，又,求出即可得出結果;

(3) 設抽到k個有獎品的可能性為，則，

根據題意可得,計算即可得出結果.

（1）由題意可得，

，

令得.當時, ；當時,

的最大值點為,因此當時,取最大值.

（2）由(1)可知，

設剩下45個布娃娃中有Y個獎品，獲利為X元，

則，又.

因此

因此買下剩下所有的45個布娃娃.

（3）設抽到k個，有獎品的可能性為，

則，

根據題意可得，

即且，

化簡得，

解得，從而.