Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖，在三棱錐P－ABC中，，，點(diǎn) 分別是AC、PC的中點(diǎn)，底面AB
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成的角的大小；
（3）當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心？

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析。
（2）
（3）

19．解：方法一：
（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC中點(diǎn)，
，………………………………（2分）
（Ⅱ）

，



………．．（5分）
又，
PA與平面PBC所成的角的大小等于，

………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影
∵D是PC的中點(diǎn)，
若點(diǎn)F是的重心，則B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴直線(xiàn)OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線(xiàn)BD，
，即…………………．．（10分）
反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心…………………………．．（12分）
方法二：
，，

以O(shè)為原點(diǎn)，射線(xiàn)OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

設(shè)則，
設(shè)，則
（Ⅰ）D為PC的中點(diǎn)，
，
又 ，

（Ⅱ），即，
可求得平面PBC的法向量，
，
設(shè)PA與平面PBC所成的角為，則
，
（Ⅲ）的重心，
，
，
又，
，即，
反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心