Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數），．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）設，其中為的導函數，證明：對任意，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導數幾何意義得，又切點為，可得切線方程；（Ⅱ）利用導數判斷函數單調性，進而確認極值點，從而確定最大值；（Ⅲ）由，所以對任意，等價于，由（Ⅱ），的最大值為，故，所以，對任意恒成立．

試題解析：（Ⅰ）由，得，

，所以，

所以曲線在點處的切線方程為．

（Ⅱ），，所以．

令得，，因此當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

所以在處取得極大值，也是最大值．的最大值為．

（Ⅲ）證明：因為，所以，，等價于．

由（Ⅱ）知的最大值為，故，

只需證明時，成立，這顯然成立．

所以，因此對任意，．