Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)存在與直線平行的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若有極大值點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）; （2）詳見解析.

【解析】試題分析：

（1）本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)，由題意方程在上有實(shí)根，利用二次方程根的分布知識(shí)可求得的范圍；

（2）由題意可知是的兩根，從而有，分析知極大值點(diǎn)滿足，于是都可用表示，也即不等式中三個(gè)參數(shù)可化為關(guān)于一個(gè)參數(shù)的不等式，這樣下面可利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)證明出題設(shè)不等式．注意范圍．

解析：

（1）因?yàn)?/span>,因?yàn)楹瘮?shù)存在與直線平行的切線，所以在上有解,即在上有解，也即在上有解，所以，得,故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）因?yàn)?/span>,因?yàn)?/span>,

①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增無極值點(diǎn)，不符合題意.

②當(dāng)或時(shí)，令，設(shè)的兩根為和，因?yàn)?/span>為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，又，所以，所以，則,要證明，只需要證明因?yàn)?/span>，，令，,所以，記，，則,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以,所以在上單調(diào)遞減，所以，原題得證.