Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面， 分別為棱的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）（文科）求三棱錐的體積；

（理科）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（文） （理）

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn),連結(jié)，由三角形中位線定理可得且，再由已知可得且，從而得到是平行四邊形，則，然后利用線面平行的判定定理可得面；（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，由面面垂直的性質(zhì)可得面，且，求出到面距離，然后利用等積法求得三棱錐的體積；（3）連交于，可得，得到，進(jìn)一步證得，可得是二面角的平面角，然后求解直角三角形可得二面角的正切值.

試題解析：

（1）證明：取PD中點(diǎn)G，連結(jié)GF、AG，

∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，

又EF⊥面PAD，AG⊥面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）（文）解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴F到面ABCD距離，

故；

（理）連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在Rt△EBC中，，∴，

∴，即二面角P-EC-D的正切值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.