Question

數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t為常數，t≠-

3

2

，t≠0，n≥2）
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）設{a_n}的公比為f（t），數列{b_n}（滿足b₁=1，bn=f(

1

bn-1

)(n=2，3，…)，求b_n；
（3）數列{c_n}的通項為cn=

(12)log8an (n為奇數) (13)bn (n為偶數) (14)

，那么是否存在實數t，使得數列{（-1）ⁿc_n+c_n+1}中的每一項都大于1？若存在，求出t的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t，(n≥3)

，由此能夠證明：{a_n}是等比數列．
（2）由bn=f(

1

bn-1

)=

2 bn-1 +3

3 bn-1

=bn-1+

2

3

，知bn=1+

2

3

(n-1)=

2

3

n+

1

3

．
（3）由cn=

log8( 2t+3 3t )n (n為奇數) 2 3 n+ 1 3 (n為偶數)

，當n為奇數時，log8|

2t+3

3t

|＜

2

3

+

2

3(n-1)

對所有奇數成立；當n為偶數時，log8|

2t+3

3t

|＞

2

3n

-

2

3

對所有偶數成立，由此能夠求出存在滿足條件的實數t，t＞6或t≤-

3

14

且t≠-

3

2

．

解答：解：（1）由題意，可得

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t，(n≥3)

，
兩式相減，得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
即

an

an-1

=

2t+3

3t

，(n≥3)
又3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，
∴a2=

2t+3

3t

，
∴

a2

a1

=

2t+3

3t

所以，{a_n}是以1為首項，

2t+3

3t

為公比的等比數列；
（2）bn=f(

1

bn-1

)=

2 bn-1 +3

3 bn-1

=bn-1+

2

3

，
∴bn=1+

2

3

(n-1)=

2

3

n+

1

3

；
（3）cn=

log8( 2t+3 3t )n (n為奇數) 2 3 n+ 1 3 (n為偶數)

①當n為奇數時，(-1)ncn+cn+1=-log8(

2t+3

3t

)n-1+

2

3

n+1=-(n-1)log8|

2t+3

3t

|+

2

3

n+1
若存在滿足條件的t，
則-(n-1)log8|

2t+3

3t

|+

2

3

n+1＞1對所有奇數成立，
即log8|

2t+3

3t

|＜

2

3

+

2

3(n-1)

對所有奇數成立，
所以log8|

2t+3

3t

|≤

2

3

，
∴t≥

3

10

或t≤-

3

14

②當n為偶數時，(-1)ncn+cn+1=

2

3

n+

1

3

+log8(

2t+3

3t

)n=

2

3

n+

1

3

+nlog8|

2t+3

3t

|
若存在滿足條件的t，則nlog8|

2t+3

3t

|+

2

3

n+

1

3

＞1對所有偶數成立，
即log8|

2t+3

3t

|＞

2

3n

-

2

3

對所有偶數成立，
所以log8|

2t+3

3t

|＞

2

3×2

-

2

3

，
∴t＞6或t＜

6

7

綜合之，存在滿足條件的實數t，t＞6或t≤-

3

14

且t≠-

3

2

．

點評：本題考查不等式和數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．