Question

【題目】橢圓 的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A、B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：設橢圓的右焦點為E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB﹣AE﹣BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；
即直線x=m過橢圓的右焦點E時△FAB的周長最大；
此時△FAB的高為：EF=2．
此時直線x=m=c=1；
把x=1代入橢圓 的方程得：y=± ．
∴AB=3．
所以：△FAB的面積等于：S△FAB= ×3×EF= ×3×2=3．
所以答案是：3．