Question

【題目】記[x]為不超過實數x的最大整數，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．設a為正整數，數列{xn}滿足x1=a， ，現有下列命題：
①當a=5時，數列{xn}的前3項依次為5，3，2；
②對數列{xn}都存在正整數k，當n≥k時總有xn=xk；
③當n≥1時， ；
④對某個正整數k，若xk+1≥xk ， 則 ．
其中的真命題有 ． （寫出所有真命題的編號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①當a=5時，x1=5，
，
，
∴①正確．
②當a=8時，x1=8，




∴此數列從第三項開始為3，2，3，2，3，2…為擺動數列，故②錯誤；
③當n=1時，x1=a，∵a﹣（ ）= ＞0，∴x1=a＞ 成立，
假設n=k時， ，
則n=k+1時， ，
∵ ≥ ≥ = （當且僅當xk= 時等號成立），
∴ ＞ ，
∴對任意正整數n，當n≥1時， ；③正確；
④ ≥xk ，
由數列①②規律可知 一定成立
故正確答案為①③④
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．