Question

如圖，四棱錐P-BCDE中，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，△PAD為對邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E為AD的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接PE、EB、BD，分別在等邊△PAD和等邊△BAD中利用“三線合一”，證出PE⊥AD且BE⊥AD，結合線面垂直判定定理證出AD⊥平面PBE，從而可得AD⊥PB；
（2）過E作EF⊥PB于F，利用面面垂直的性質定理和線面垂直的判定與性質，證出EF⊥平面PBC，得EF長就是點E到平面PBC的距離．根據題中數據算出Rt△PEB中各邊之長，利用直角三角形的面積公式算出EF的長，即得點E到平面PBC的距離．

解答： 解：（1）連接PE、EB、BD，
∵△PAD為等邊三角形，E為AD的中點，∴PE⊥AD；
∵四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，E為AD的中點，
∴BE⊥AD；
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB；
（2）過E作EF⊥PB于F
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴PE⊥BC
∵菱形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，∴BE⊥BC
∵PE、BE是平面PBE內的相交直線，∴BC⊥平面PBE
∵EF?平面PBE，∴BC⊥EF，
∵EF⊥PB且PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，得EF長就是點E到平面PBC的距離
∵△ADB、△ADP是邊長為2的等邊三角形，
∴Rt△PEB中，PE=BE=

3

2

AD=

3

，得PB=

2

BE=

6

由此可得：EF=

PE•EB

PB

=

6

2

，即點E到平面PBC的距離等于

6

2

點評：本題在四棱錐中證明線線垂直，并求點到平面的距離．著重考查了面面垂直性質定理、線面垂直的判定與性質，考查了等邊三角形的性質和點到平面距離求法等知識，屬于中檔題．