【題目】已知函數(shù)
,
為
的導函數(shù).
(1)求證:在
上存在唯一零點;
(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1) 設
，然后判斷函數(shù)
在
上的符號，得出
的單調性，再利用零點存在定理判斷在上是否存在唯一零點即可；
(2) 分
，
，和
三種情況分別考慮
的零點存在情況，從而得證．
(1)設，
當
時，
，所以在
上單調遞減，
又因為
，
所以在
上有唯一的零點
，所以命題得證．
(2) ①由(1)知：當
時，
，在
上單調遞增;
當
時，
，在
上單調遞減;
所以在上存在唯一的極大值點
所以
又因為
所以在上恰有一個零點．
又因為
所以在上也恰有一個零點．
②當時，
，
設
，
所以
在
上單調遞減，所以
所以當時，
恒成立
所以在上沒有零點．
③當時，
設
，
所以
在
上單調遞減，所以
所以當時，
恒成立
所以在上沒有零點．
綜上，有且僅有兩個零點．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】曲線
的極坐標方程為
（常數(shù)
），曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）.
（1）求曲線的直角坐標方程和的普通方程；
（2）若曲線，有兩個不同的公共點，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
是由兩個定點
和點
的距離之積等于
的所有點組成的，對于曲線，有下列四個結論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線上所有的點都在單位圓
內；③曲線是中心對稱圖形；④曲線上所有點的縱坐標
.其中，所有正確結論的序號是______.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】德國著名數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在數(shù)學領域成就顯著.19世紀,狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)” 
其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集.則關于函數(shù)
有如下四個命題,正確的為( )
A.函數(shù)是偶函數(shù)
B.
,
,
恒成立
C.任取一個不為零的有理數(shù)T,
對任意的
恒成立
D.不存在三個點
,
,
,使得
為等腰直角三角形
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設數(shù)列
的前n項和為
,已知
,
,
.
(1)證明:
為等比數(shù)列,求出的通項公式;
(2)若
,求
的前n項和
,并判斷是否存在正整數(shù)n使得
成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對于正整數(shù)
，如果
個整數(shù)
滿足
，
且
，則稱數(shù)組
為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為
均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為
.
(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;
(Ⅱ)對于給定的整數(shù)
，設是的一個“正整數(shù)分拆”，且
，求
的最大值;
(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:
;并求出使得等號成立的的值.
(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與
，當且僅當
且
時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
過點
，且焦點為F，直線l與拋物線相交于A，B兩點．
⑴求拋物線C的方程，并求其準線方程；
⑵
為坐標原點.若
，證明直線l必過一定點，并求出該定點．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】關于曲線
，給出下列四個結論：
①曲線C關于原點對稱，但不關于x軸、y軸對稱；
②曲線C恰好經(jīng)過4個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；
③曲線C上任意一點都不在圓
的內部；
④曲線C上任意一點到原點的距離都不大于
．
其中，正確結論的序號是________．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設二次函數(shù)
（
，
），關于
的不等式
的解集中有且只有一個元素.
（1）設數(shù)列
的前
項和
（
），求數(shù)列的通項公式；
（2）設
（），則數(shù)列
中是否存在不同的三項能組成等比數(shù)列？請說明理由.
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