Question

（本小題滿分14分）已知圓：及定點，點是圓上的動點，點在上，點在上，
且滿足＝2，·＝.
（1）若，求點的軌跡的方程；
（2）若動圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點，是否存在一組正實數，使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實數；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1） 
∴點為的中點，
又，
或點與點重合．
∴           …………2分
又
∴點的軌跡是以為焦點的橢圓，
且，
∴ 
∴G的軌跡方程是   …………6分
(2)解：不存在這樣一組正實數，
下面證明：                        …………7分
由題意，若存在這樣的一組正實數，
當直線的斜率存在時，設之為，
故直線的方程為：，
設，中點，
則，兩式相減得：
．…………9分
注意到，
且 ，
則 ，     ②
又點在直線上，
，
代入②式得：．
因為弦的中點在⑴所給橢圓內，
故，
這與矛盾，
所以所求這組正實數不存在．                 …………13分
當直線的斜率不存在時，
直線的方程為，
則此時，
代入①式得，
這與是不同兩點矛盾.
綜上，所求的這組正實數不存在．       …………14分

略