Question

【題目】已知函數在處的切線方程為

（1）求的解析式；

（2）若對任意的均有求實數k的取值范圍；

（3）設為兩個正數，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義，得到進而求出解析式；（2）研究函數的單調性，使得函數的最小值大于0即可；（3）當時，和兩種情況；構造函數證得，將式子化簡即可。

解析：

（1）由得，

由題意： ，解得，所以．

（2）令，

則，令得，

當時， ， 在上單調遞減；

當時， ， 在 上單調遞增，

所以的最小值為，

由題意知，解得，故實數的取值范圍是．

（3）當時，結論顯然成立，否則不妨設，

設則

當時， ， 在上為減函數；當時， ， 在上為增函數.從而當時，∵，∴，即得，

化簡得，

故．