Question

已知兩個點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”，給出下列直線：①y=x+1；②y=

4

3

x；③y=2；④y=2x+1．其中為“B型直線”的是

 

．（填上所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據題設條件可知點P的軌跡方程是

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），將直線①，②，③，④的方程分別與

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）聯立，若方程組有解，則該直線為“B型直線”．

解答：解：∵|PM|-|PN|=6∴點P在以M、N為焦點的雙曲線的右支上，即

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0），
①

x2 9 - y2 16 =1 y=x+1

，把y=x+1代入雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得7x²-18x-153=0，∵△=（-18）²-4×7×（-153）＞0∴y=x+1是“B型直線”．
②

x2 9 - y2 16 =1 y= 4 3 x

，把y=

4

3

x代入雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得144=0，不成立．∴y=

4

3

x不是“B型直線”．
③

x2 9 - y2 16 =1 y=2

，把y=2代入雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得x2=

45

4

，∴y=2是“B型直線”．
④

x2 9 - y2 16 =1 y=2x+1

，把y=2x+1代入雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）并整理，得20x²+36x+153=0，∵△=36²-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直線”．
答案：①③．

點評：將直線①，②，③，④的方程分別與

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）聯立，若方程組有解，則該直線為“B型直線”．