Question

【題目】在△ABC中，AD是角A的平分線．
（1）用正弦定理或余弦定理證明： ；
（2）已知AB=2．BC=4， ，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：在△ABC中，由正弦定理得： = ．

在△ADC中，由正弦定理得： ．

∵∠BAD=∠DAC，

∴sin∠BAD=sin∠DAC，

又∵∠BAD+∠ADC=π，

∴sin∠BAD=sin∠ADC，

∴

（2）解：在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcosB=22+42﹣2× =16．

∴AC=4．

由（1）知， = = ，

又BD+DC=BC=4，

∴BD= ．

在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB=22+（ ）2﹣2× = ．

∴AD= ．

【解析】（1）由已知及正弦定理得： = ， ，由sin∠BAD=sin∠DAC，結合∠BAD+∠ADC=π，可得sin∠BAD=sin∠ADC，即可得證 ．（2）由已知及余弦定理可求AC的值，由（1）及BD+DC=BC=4，可求BD的值，進而利用余弦定理可求AD的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關知識才是答題的關鍵．