Question

【題目】《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1千多年．在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．
（Ⅰ）求證：四棱錐B﹣A1ACC1為陽馬；并判斷四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，若是，請寫出各個面的直角（只要求寫出結論）．
（Ⅱ）若A1A=AB=2，當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，求二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由塹堵ABC﹣A1B1C1的性質得：四邊形A1ACC1是矩形， ∵A1A⊥底面ABC，BC平面ABC，
∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC=A，A1A，AC平面A1ACC1 ，
∴BC⊥平面A1ACC1 ，
∴四棱錐B﹣A1ACC1為陽馬，
四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，四個面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1 ， ∠A1C1B．
解：（Ⅱ）∵A1A=AB=2，
由（Ⅰ）知陽馬B﹣A1ACC1的體積：
= = ≤ ，
當且僅當AC=BC= 時， ，
以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，

則A1（0， ，2），B（ ，0，0），C1（0，0，2），
∴ =（0， ，2）， =（ ，0，0）， =（0， ，0）， =（ ，0，﹣2），
設平面CA1B的法向量 =（x，y，z），
則 ，取y= ，得 =（0， ，﹣1），
設平面C1A1B的法向量 =（a，b，c），
則 ，取a= ，得 =（ ，0，1），
設當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角為θ，
則cosθ= = = ，
∴當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值為
【解析】（Ⅰ）由塹堵ABC﹣A1B1C1的性質得：四邊形A1ACC1是矩形，推導出BC⊥A1A，BC⊥AC，從而BC⊥平面A1ACC1 ， 由此能證明四棱錐B﹣A1ACC1為陽馬，四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，四個面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1 ， ∠A1C1B．（Ⅱ）陽馬B﹣A1ACC1的體積： ≤ ，當且僅當AC=BC= 時， ，以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用棱錐的結構特征和直線與平面垂直的性質，掌握側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方；垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．