Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(4m，0)(m＞0，m為常數)，離心率等于0.8，過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點．

(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若θ＝90°，，求實數m；
(3)試問的值是否與θ的大小無關，并證明你的結論．

Answer 1

（1）＝1.（2）m＝（3）無關

(1)∵c＝4m，橢圓離心率e＝＝，∴a＝5m.∴b＝3m.
∴橢圓C的標準方程為＝1.
(2)在橢圓方程＝1中，令x＝4m，解得y＝±.
∵當θ＝90°時，直線MN⊥x軸，此時FM＝FN＝，∴＝.
∵＝，∴＝，解得m＝.
(3)的值與θ的大小無關．
證明如下：(證法1)設點M、N到右準線的距離分別為d₁、d₂.
∵＝，＝，∴＝.
又由圖可知，MFcosθ＋d₁＝－c＝，
∴d₁＝，即＝.
同理，＝＝(－cosθ＋1)．
∴＝＋(－cosθ＋1)＝.
∴＝·＝.顯然該值與θ的大小無關．
(證法2)當直線MN的斜率不存在時，由(2)知，的值與θ的大小無關．
當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y＝k(x－4m)，
代入橢圓方程＝1，得(25k²＋9)m²x²－200m³k²x＋25m⁴(16k²－9)＝0.
設點M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，∵Δ＞0恒成立，∴x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
∵＝，＝，∴MF＝5m－x₁，NF＝5m－x₂.
∴＝.
顯然該值與θ的大小無關．