Question

給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.
（ⅰ）當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程，
并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

Answer 1

（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）詳見解析.

試題分析：（1）求橢圓方程，利用待定系數法，列兩個獨立方程就可解出因為短軸上的一個端點到的距離為，所以而所以再根據“準圓”定義，寫出“準圓”方程.（2）（ⅰ）直線與橢圓相切問題，通常利用判別式為零求切線方程，利用點斜式設直線方程，與橢圓方程聯立消得關于的一元二次方程，由判別式為零得斜率,即證得兩直線垂直.（ⅱ）本題是（ⅰ）的一般化，首先對斜率是否存在進行討論，探討得斜率不存在時有兩直線垂直，即將問題轉化為研究直線是否垂直問題，具體就是研究是否成立.研究思路和方法同（ⅰ），由于點坐標在變化，所以由判別式為零得關于點坐標的一個等式：，即，而這等式對兩條切線都適用，所以的斜率為方程兩根，因此.當垂直時，線段為準圓的直徑，為定值4.
試題解析：解：（1），
橢圓方程為，                            2分
準圓方程為.                             3分
（2）（ⅰ）因為準圓與軸正半軸的交點為，
設過點且與橢圓相切的直線為，
所以由得.
因為直線與橢圓相切，
所以，解得，       6分
所以方程為.                 7分
，.                              8分
（ⅱ）①當直線中有一條斜率不存在時，不妨設直線斜率不存在，
則：，
當：時，與準圓交于點，
此時為（或），顯然直線垂直；
同理可證當：時，直線垂直.             10分
②當斜率存在時，設點，其中.
設經過點與橢圓相切的直線為，
所以由
得 .
由化簡整理得 ，
因為，所以有.
設的斜率分別為，因為與橢圓相切，
所以滿足上述方程，
所以，即垂直.                          12分
綜合①②知：因為經過點，又分別交其準圓于點，且垂直.
所以線段為準圓的直徑， ，
所以線段的長為定值.                             14分