Question

已知函數．
(Ⅰ) 求的單調區間；
(Ⅱ) 求所有的實數，使得不等式對恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）當a≤0時， f(x)的增區間是(－∞，＋∞)；當a＞0時，f(x)的增區間是(－∞，－]、[，＋∞)，f(x)的減區間是[－，]；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）本小題首先求函數的導數，利用導數的正負求解原函數的單調區間，注意參數的范圍，通過分情況討論可以分別得出函數的增減區間；（Ⅱ）根據第一問可知函數在區間上的單調性，進而可以求得函數在區間上的的最大值和最小值，然后讓，即可解得參數的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ)  f′(x)＝3x²－3a．
當a≤0時，f′(x)≥0恒成立，故f(x)的增區間是(－∞，＋∞)．
當a＞0時，由f′(x)＞0，得    x＜－ 或 x＞，
故f(x)的增區間是(－∞，－]和[，＋∞)，f(x)的減區間是[－，]．    7分
(Ⅱ) 當a≤0時，由(Ⅰ)知f(x)在[0，]上遞增，且f(0)＝1，此時無解．
當0＜a＜3時，由(Ⅰ)知f(x)在[0，]上遞減，在[，]上遞增，
所以f(x)在[0，]上的最小值為f()＝1－2a．
所以
即
所以a＝1．
當a≥3時，由(Ⅰ)知f(x)在[0，]上遞減，又f(0)＝1，所以
f()＝3－3a＋1≥－1，
解得a≤1＋，此時無解．
綜上，所求的實數a＝1．    15分