Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣2ax+1+lnx
（1）當a=0時，若函數f（x）在其圖象上任意一點A處的切線斜率為k，求k的最小值，并求此時的切線方程；
（2）若函數f（x）的極大值點為x1 ， 證明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=0，∴ ，

∴ ，當僅當 時，即x=1時，f'（x）的最小值為2，

∴斜率k的最小值為2，切點A ，

∴切線方程為 ，即4x﹣2y﹣1=0；

（2）解：∵ ，

①當﹣1≤a≤1時，f（x）單調遞增無極值點，不符合題意；

②當a＞1或a＜﹣1時，令f'（x）=0，設x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2，

因為x1為函數f（x）的極大值點，所以0＜x1＜x2，

又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x1＜1，

∴f′（x1）=0， ，則 ，

∵ = = ，x1∈（0，1），

令 ，x∈（0，1），

∴ ，∴h′（x）=﹣3x+ = ，x∈（0，1），

當 時，h′（x）＞0，當 時，h′（x）＜0，

∴h′（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減，

∴ ，

∴h（x）在（0，1）上單調遞減．

∴h（x）＞h（1）=﹣1，原題得證．

【解析】（1）求得f（x）的導數，由基本不等式可得斜率的最小值，及切點，運用點斜式方程可得切線的方程；（2）求出f（x）的導數，討論判別式的符號，設出二次方程的兩根，運用韋達定理和構造函數 ，x∈（0，1），求出導數，求得單調區間和極值、最值，即可得證．
【考點精析】掌握函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．