Question

一個與自然數有關的命題，若n=k（k∈N）時命題成立可以推出n=k+1時命題也成立．現已知n=10時該命題不成立，那么下列結論正確的是：________（填上所有正確命題的序號）
①n=11時該命題一定不成立；
②n=11時該命題一定成立；
③n=1時該命題一定不成立；
④至少存在一個自然數n₀，使n=n₀時該命題成立；
⑤該命題可能對所有自然數都不成立．

Answer 1

③⑤
分析：本題考查的知識點是數學歸納法，由歸納法的性質，由P（n）對n=k成立，則它對n=k+1也成立，由此類推，對n＞k的任意整數均成立，結合逆否命題同真同假的原理，當P（n）對n=k不成立時，則它對n=k-1也不成立，由此類推，對n＜k的任意正整數均不成立，由此不難得到答案．
解答：由題意可知，原命題成立則逆否命題成立，
P（n）對n=10時該命題不成立，（否則n=11也成立）．
同理可推得P（n）對n=2，n=1也不成立．所以③正確，⑤正確
故答案為：③⑤．
點評：當P（n）對n=k成立，則它對n=k+1也成立，由此類推，對n＞k的任意整數均成立；結合逆否命題同真同假的原理，當P（n）對n=k不成立時，則它對n=k-1也不成立，由此類推，對n＜k的任意正整數均不成立．